Felix Klein'ın isim babalığı yaptığı bir ilginç yüzeyle tanışmak üzeresiniz. Klein şişesinin ilginç özelliklerinden biri bir yüzey (dolayısıyla iki boyutlu) olmasına rağmen bulunduğumuz üç boyutlu uzayda bir makedi yapılamaz, bu nedenle resmini de çizemeyiz! Fakat sizin insafınıza sığınarak aşağıdaki şekli sunalım:

Resimde ucu tekrar içine bükülen ve zeminiyle birleşen bir şişe görülüyor. Klein şişesi ise bir manifold olduğundan (yani üzerinde yürüyen görüşü kısıtlı bir böceğin düzlem sanacağı uzaylar) kendi kendini kesmemelidir, bu nedenle dört boyutlu uzayda gerçek bir Klein şişesi oluşturulabilir: nasıl düzlemde kesişen iki doğru varsa biri üçüncü boyutta ötelenerek kesişimden kurtulabilirsek, bu durumda da kesişim bölgesindeki noktaların bir komşuluğu dördüncü boyutta uzaklaştırılır.

En kolayı yüzeyi şekildeki gibi düşünüp yüzey üzerinde yürüyen bir böcek kesişim bölgesine vardığında kesişimi görmeden (bir hayalet gibi) yürüyüşünde bir değişim olmadan geçsin. Bu düşünce tarzı ile Klein şişesinin tek yüzlü olduğu rahatça söylenir: bir yüzünden boyamaya başladığımızda öteki yüze geçmeden (!) boyamaya çalışırsak boyanmamış yerin kalmadığı görülür, bu ise Klein şişesinin bir Möbius şeridi içermesinden kaynaklanır.

İnsan ister istemez 'bu yüzey de nereden çıktı' diye düşünüyor. Bazıları ise 'Klein şişesini nasıl kesmeli ki iki Möbius şeridi elde edeyim' diyor. Gerçekten, Scientific American dergisinin Mart 1998 sayısında bir cam ustasının yarattığı Klein şişeleri ve varyanları görülmeye değer. Bunları yapan Alan Benett amacının Klein şişesini uygun bir eğri boyunca kesip üç kez burulmuş iki Möbius şeridi elde etmek olduğunu söylemiştir. Genelde bu topologlar için önemli değildir çünkü yüzeyler ve manifoldlar içinde bulundukları uzaydan bağımsız olarak vardır; başka bir uzayın içine gömülme şekilleri farklı bir problemdir. Sonuç olarak insanı düşündüren ve eğlendiren, ayrıca topologlara güzel örnek ve ters örnekler yaratan bir yüzeydir. Scientific American'daki makale bir soruyla bitiyor: Klein şişesi üzerinde öyle bir eğri bulun ki bu eğri boyunca kestiğinizde elinizde bir ve yalnız bir tane Möbius şeridi kalsın. Bulabildiniz mi?

Klein şişesini daha da tanımak için bakalım başkaları neler yazmış, neler çizmiş... sonra konuya tekrar döneceğiz, sörf yaparken dalgalara fazla kapılıp okyanusun ortasında kalmayın!

Topological Zoo Klein şişesi ve birçok diğer yüzeyi tanıtıyor, resimlerini ve animasyonlarını içeriyor. Görmek için Minesota Üniversitesine bağlanın.

Klein şişesi üç boyutlu uzayda gerçekleştirilemez dedik, bu sayede Surfaces Beyond the Third Dimension sergisinde Klein şişesinin çok güzel bir resmini bulacaksınız. Sergiyi gezmemek de elde değil!

Klein şişesini algılamayı kolaylaştıran başka yorumlar da var. Möbius şeridinin incelenmesi yazısında anlatılan ve topologların çok sevdiği bu tanımı hatırlatalım:

Bir kare alıp yandaki şekilde belirtilen gibi karşılıklı kenarlarını oklar yönünde yapıştıralım. Bu takdirde elde edeceğimiz Klein şişesidir! Bu işleme topolojide bir uzayın bölüm uzayını oluşturma denir, uzayın bazı noktalarını aynı kabul etmek demektir. Yüksek boyutlu uzaylarda düşünmek yerine düzlemsel bir şekil olan bu kare üzerinde düşünelim, o haldeKlein şişesi üzerindeki bir noktanın komşuluğu şekildeki kırmızı daire olarak ifade edilebilir, Klein şişesi üzerindeki bir yol ise bu kare içinde, sınırların yapıştırıldığı göz önünde bulundurularak, şekilde örneklenmiştir.

Bu gösterilimin geliştirilmesi ile, Klein şişesini kesmek de daha da kolaylaştı! Örneğin bir köşegen boyunca kesersek ne elde ederiz?

İnternette biraz daha gezelim:

The Klein Bottle adlı sayfada bir Klein şişesi üzerinde gezinen bir yengeç animasyonu izleyebilirsiniz.

The Shape of Space, Jeffrey R. Weeks tarafından yazılmış (ODTÜ kütüphanesinde rastlayıp zevkle okuduğum), yüzeyleri ve üç boyutlu manifoldları insanın kafasında canlandırmasını sağlayan güzel bir kitap. Bu kitabı kütüphanede gördüğümde hemen internetteki The Shape of Space sayfasını ve oradaki animasyonları hatırlattı: kapakta bir (!) koltukta oturan A. Einstein görülmekteydi, bulunduğu uzay ise 3-torus idi (yanlış hatırlamıyorsam). Bu kavramlarla tanışmak isterseniz Curriculum materials kısmına bakmayı unutmayın (bunları ayrıca PostScript formatında da sunuyorlar).

Evrenin şekliyle ilgili yorum yapan başka bir sayfa ise Is the Universe like a Klein Bottle? başlığını taşıyor, bu yazıyı okumak için buraya basın.

Burada da ilginç bir şişe bulacaksınız!