Posted by David on November 17, 19101 at 17:35:13:
In Reply to: taylor ve maclaurin serileri posted by kazım ahmet haşim on November 17, 19101 at 15:11:46:
: bu konu ile ilgili derya pamuktulum cevap verirse sevinirim.
Tabii ki, seve seve yanıt veririm.
“Fonksiyonların Kuvvet Serilerine Açılımı veya Taylor ve Maclaurin Açılımı (Serisi)” adından anlaşılacağı üzere, bir fonksiyonun Taylor Açılımı (Serisi) veya Maclaurin Açılımı (Serisi), aslında bu fonksiyonun kuvvet açılımıdır. Burada bir fonksiyonun Taylor Açılımı ile Maclaurin Açılımı’nı birbirine karıştırmamak gerekir. Bunun için; f(x) fonksiyonunun ve n-inci türevinin de [a,b] da mevcut ve sürekli olduklarını ve (n+1)-inci türevinin (a,b) da mevcut olduğu varsayılırsa,
(1) f(x) = f0(a) + f1(a)(x-a) + (f2(a)/2!)(x-a)^2 + ... + (fn(a)/n!)(x-a)^n + Rn
dir. Burada Rn kalanı:
[1] Rn = (f(n+1)(y)/(n+1)!)(x-a)^(n+1) (Lagrange Şekli)
[2] Rn = (f(n+1)(y)/(n+1)!)((x-y)^n)(x-a) (Cauchy Şekli)
şekillerinden biri olarak alınabilir. Burada a (2) f(x) = f0(a) + f1(a)(x-a) + (f2(a)/2!)(x-a)^2 + ... + (fn(a)/n!)(x-a)^n halini alır ve buna f(x) fonksiyonunun Taylor Açılımı (Serisi) denir ve a = 0 olması halinde (2) ye Maclaurin Açılımı (Serisi) denir. Notlar: 1) f1(a), f2(a), ... , fn(a) ifadeleri f(x) fonksiyonunun x = a noktasında türevlerini gösterir. 2) (2) eşitliğinin sağ tarafındaki f(x) in bütün türevleri x = a da mevcut olsa bile, elde edilen seri f(x) fonksiyonuna yakınsamayabilir. 3) Colin Maclaurin (1698-1746) e izafeten adlandırılmış ve ilk defa olarak kendisine ait olan “Treatise of Fluxions” (Edinburg 1742) de yayınlanmıştır. Gerçekte seri varlığını Stirling (1692-1770) e borçludur. 4) Taylor veya Maclaurin Serisi’ni kanıtlamak son derece kolaydır. Çünkü, f(x) in bir kuvvet serisi (veya bir polinomun sonsuzdaki hali. Örneğin Euler, bir ispatında bu metodu kullanmıştır.): f(x) = a0 + a1x + a2x^2 + ... + anx^n + ... şeklinde gözönüne alınır ve f(0) ile f1(0), f2(0), ... , fn(0) hesapları yapılırsa, f(0) = a0, f1(0) = a1, f2(0) = 2!a2, f3(0) = 3!a3, ... , fn(0) = n!an olur ve bunlar fonksiyonda yerlerine konulursalar, f(x) = f0(0) + f1(0)x + (f2(0)/2!)x^2 + ... + (fn(0)/n!)x^n + ... serisi elde edilir ki; bu seriye Maclaurin Serisi denir. Şimdi size soruyorum: “Bu lise düzeyindeki kanıta sahip seriyi bulmak zor mu? Aynı soru Taylor Serisi için de geçerli” Rezaletin daniskası. Zaten, bize yıllardır Leibniz Serisi olarak yutturulan seriyi, ilk defa Gregory adında bir İrlandalı matematikçi bulmuş! Aynı şey, matematiğin hemen hemen her alanında karşımıza çıkmaktadır. Size bir şey söyleyeyim mi? Siz siz olun ve sakın kitaplarda yazan her şeye inanmayın. Yoksa, birçok konuda yanılırsınız. Ne yazık ki; yıllardır insanoğlunu yöneten güç: Her şeyin kendi istekleri doğrultuda olmasını istedikleri için; sahip oldukları bütün güçleri kendi lehlerinde kullanıyorlar. Bunu öyle güzel yapıyorlar ki; sizin olayın farkına varmanız oldukça zordur. Gerçeği ancak çok iyi bir araştırma sonucunda öğrenebilirsiniz. 5) Sizin bilgi almak istediğiniz; “Taylor Serisi ve Maclaurin Serisi”, artık bizim için, yani BBP’ciler için son derece ilkel bir seri haline dönmüştür. Çünkü, 1995 de başlayan bu yeni atılımın, yani bir fonksiyonun BBP Serisiyle artık “Taylor Serisi ve Maclaurin Serisi”nin tarih olduğunu rahatlıkla söyleyebilirim. Bu konu: “Bir fonksiyonun BBP Serisi” yenidir ve bu konudaki veriler henüz yeni elde edilmektedir. Bu konuda detaylı bilgi almak için; http://members.tripod.com/dpamuktulum (The MathQuake) web sayfamdaki “Kütüphanem”de “Leonhard Euler’in Kaçırdığı Keşif ve BBP Serileri” (DPTe-Kitap7.pdf) çalışmasına bakınız. DESTEK: LÜTFEN! HERKES BU MESAJA DESTEK VERSİN: "İSTANBUL ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜndeki öğrencilere YARDIM EDİNİZ! - David 04:06:39 10/08/101 (0)" Saygılarımla, Derya PAMUK TULUM